blocks|key|2418307|text|在椭圆曲线代数中，运算是在字段字段上计算的。在您的例子中，字段是\mathbb{F}_{11}。|type|unstyled|depth|inlineStyleRanges|offset|length|style|CODE|entityRanges|data|2418308|\mathbb{F}_{11}是一个包含11个元素(\{0,1,2,...,10\})的有限域，与每个域一样，也存在加法和乘法律。这两个定律在模11整数环上起作用(通常是\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})。|2418309|在\mathbb{F}_{11}中，当我们编写{(\frac{39}{2})}%5E2+-+10+=+\frac{1481}{4}+=+\frac{7}{4}时，它实际上是4模11的7倍，这是3，因为3*4+=+1模块11。|2418310|计算一个逆模--一个整数可以用扩展欧氏算法完成。下面是反表；|2418311|2418312|\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}\hline+x+\in+\mathbb{F}_{11}&1+&+2+&+3+&+4+&+5+&+6+&+7+&+8+&+9+&+10\\\hline+x%5E{-1}+&1&+6+&+4+&+3+&+9+&+2+&+8+&+7+&+5+&+10\\\hline+\end{array}|atomic|mathjax|teX|\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}\hline+x+\in+\mathbb{F}_{11}&1+&+2+&+3+&+4+&+5+&+6+&+7+&+8+&+9+&+10\\\hline+x%5E{-1}+&1&+6+&+4+&+3+&+9+&+2+&+8+&+7+&+5+&+10\\\hline+\end{array}|2418313|2418314|在您的示例中，[2]P的x坐标是7*3+=+10+(+\mathbb{F}_{11}的一个元素)。|entityMap|0|LINK|mutability|MUTABLE|url|https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics))|1|2|INLINETEX|IMMUTABLE|\mathbb{F}_{11}|3|4|\{0,1,2,...,10\}|5|\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}|6|7|{(\frac{39}{2})}%5E2+-+10+=+\frac{1481}{4}+=+\frac{7}{4}|8|3*4+=+1|9|https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm|10|[2]P|11|7*3+=+10|12^0|W|F|D|2|0|F|2|1|W|F|2|0|0|F|Q|G|2D|N|0|F|3|Q|G|4|2D|N|5|0|1|F|N|1I|2Q|7|1|F|6|N|1I|7|2Q|7|8|0|F|6|9|0|0|0|51|0|0|7|4|G|8|R|F|7|4|A|G|8|B|R|F|C^^$0|@$1|2|3|4|5|6|7|1O|8|@$9|1P|A|1Q|B|C]]|D|@$9|1R|A|1S|1|1T]|$9|1U|A|1V|1|1W]|$9|1X|A|1Y|1|1Z]]|E|$]]|$1|F|3|G|5|6|7|20|8|@$9|21|A|22|B|C]|$9|23|A|24|B|C]|$9|25|A|26|B|C]]|D|@$9|27|A|28|1|29]|$9|2A|A|2B|1|2C]|$9|2D|A|2E|1|2F]]|E|$]]|$1|H|3|I|5|6|7|2G|8|@$9|2H|A|2I|B|C]|$9|2J|A|2K|B|C]|$9|2L|A|2M|B|C]]|D|@$9|2N|A|2O|1|2P]|$9|2Q|A|2R|1|2S]|$9|2T|A|2U|1|2V]]|E|$]]|$1|J|3|K|5|6|7|2W|8|@]|D|@$9|2X|A|2Y|1|2Z]]|E|$]]|$1|L|3|-4|5|6|7|30|8|@]|D|@]|E|$]]|$1|M|3|N|5|O|7|31|8|@$9|32|A|33|B|C]]|D|@]|E|$P|-1|Q|R]]|$1|S|3|-4|5|6|7|34|8|@]|D|@]|E|$]]|$1|T|3|U|5|6|7|35|8|@$9|36|A|37|B|C]|$9|38|A|39|B|C]|$9|3A|A|3B|B|C]]|D|@$9|3C|A|3D|1|3E]|$9|3F|A|3G|1|3H]|$9|3I|A|3J|1|3K]]|E|$]]]|V|$W|$5|X|Y|Z|E|$10|11]]|12|$5|X|Y|Z|E|$10|11]]|13|$5|14|Y|15|E|$Q|16]]|17|$5|14|Y|15|E|$Q|16]]|18|$5|14|Y|15|E|$Q|19]]|1A|$5|14|Y|15|E|$Q|1B]]|1C|$5|14|Y|15|E|$Q|16]]|1D|$5|14|Y|15|E|$Q|1E]]|1F|$5|14|Y|15|E|$Q|1G]]|1H|$5|X|Y|Z|E|$10|1I]]|1J|$5|14|Y|15|E|$Q|1K]]|1L|$5|14|Y|15|E|$Q|1M]]|1N|$5|14|Y|15|E|$Q|16]]]]

In elliptic curve algebra, operations are computed over a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)" rel="nofollow noreferrer">field</a>.
In your case, the field is $\mathbb{F}_{11}$.

$\mathbb{F}_{11}$ is a finite field containing 11 elements ($\{0,1,2,...,10\}$), and like every field there is and addition and multiplicative law.
Theses two laws work other the ring of integers modulo 11 (often noted $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$).

In $\mathbb{F}_{11}$, when we write ${(\frac{39}{2})}^2 - 10 = \frac{1481}{4} = \frac{7}{4}$ it is in fact 7 times the inverse of 4 modulo 11, which is 3 because $3*4 = 1$ modulo 11.

Calculating an inverse modulo an integer can be done with the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm" rel="nofollow noreferrer">Extended Euclidian Algorithm</a>. The below is the inverse table;

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x \in \mathbb{F}_{11}&amp;1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 7 &amp; 8 &amp; 9 &amp; 10\\\hline
x^{-1} &amp;1&amp; 6 &amp; 4 &amp; 3 &amp; 9 &amp; 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 5 &amp; 10\\\hline
\end{array}

In your example, the x-coordinate of $[2]P$ is then $7*3 = 10$, an element of $\mathbb{F}_{11}$.

For elliptic curve $ y^2 = x^3 +3x+7$ I found the finite group $ E(\mathbb{F}_{11})= \left\{ \mathcal{O}, (1,0),(5,2),(5,9),(8,2),(8,9),(9,2),(9,9),(10,5),(10,6) \right\}$. 

I have to find a generator of a subgroup of $ E(\mathbb{F}_{11})$, but for every point $P$ in $ E(\mathbb{F}_{11})$ when I try to calculate $[2]P$ I get a rational number. Am I doing something wrong? 

For example if $P=(5,2)$ then by the formula $x([2]P)={(\frac{3x_1^2+a}{2y_1})}^2-2x_1$, where $a$ is the coefficient next to $x$ in the elliptic curve, and $x_1$ is the first coordinate of $P$ and $y_1$ is the second. But here I get $x([2]P) = (\frac{3*25+3}{2*2})^2-2*5 =(\frac{39}{2})^2-10 $. Should I just ignore the denominator and use $(\frac{39}{2})^2-10 =\frac{1521-10*16}{16}=\frac{1361}{16}$ and the answer for $x$ would be $1361$ mod 11$= 8$?

Finding subgroup in elliptic curve over finite field $ \mathbb{F}_{11}$

翻译质量差，导致语言生硬或混乱。

没有提供实际的解决方法或示例。

解答不清晰，无法理解或解决问题。

页面排版不美观，阅读体验差。

文章

问答

视频

教程

学习中心

腾讯云实验室

直播

竞赛

腾讯云代码分析专区

腾讯iOA零信任安全管理系统专区

腾讯云架构师技术同盟交流圈

腾讯云数据库专区

腾讯云智能顾问专区

腾讯云原生专区

腾讯混元专区

腾讯云TCE专区

腾讯云Lighthouse专区

腾讯云HAI专区

腾讯云Edgeone专区

腾讯云存储专区

腾讯云智能专区

腾讯轻联专区 

腾讯云开发专区

TAPD专区

腾讯轻量云游戏服专区

腾讯云最具价值专家

腾讯云架构师技术同盟

腾讯云创作之星

腾讯云开发者先锋

腾讯云AI代码助手

云原生构建

TAPD 敏捷项目管理

Cloud Studio

SDK中心

API中心

命令行工具

功能1上新10个字符

功能2描述100个字符功能2描述100个字符功能2描述100个字符功能2描述100个字符功能2描述100个字符功能2描述100个字符功能2描述100个字符功能2描述100个字符功能2描述100个字符。

功能2上新100个字符功能2上新100个字符功能2上新100个字符功能2上新100个字符功能2上新100个字符功能2上新100个字符功能2上新100个字符功能2上新100个字符功能2上新100个字符。

功能5描述100个字符功能5描述100个字符功能5描述100个字符功能5描述100个字符功能5描述100个字符功能5描述100个字符

功能5上新100个字符功能5上新100个字符功能5上新100个字符功能5上新100个字符功能5上新100个字符功能5上新100个字符功能5上新100个字符功能5上新100个字符功能5上新100个字符功能5上新100个字符

功能4上新

文章&问答评论现已支持表情

全新交互，全新视觉，新增快捷键、悬浮工具栏、高亮块等功能并同时优化现有功能，全面提升创作效率和体验

社区富文本编辑器全新改版！诚邀体验～ 

精选全网热门MCP server，让你的AI更好用 🚀

💥开发者 MCP广场重磅上线！

涵盖代码开发、场景应用、自动测试全流程，助你从零构建专属AI助手

一站式MCP教程库，解锁AI应用新玩法

聚焦“写作效率、视觉美观与运行性能”三方面进行全面升级，为您提供更高效、稳定的创作环境

社区富文本&Markdown编辑器全新改版上线，欢迎大家体验!

诚挚邀请您参与本次调研，分享您的真实使用感受与建议。您的反馈至关重要，感谢您的支持与参与！

社区新版编辑器体验调研

对于椭圆曲线y^2 = x^3 +3x+7，我发现了有限群E(\mathbb{F}_{11})= \left\{ \mathcal{O}, (1,0),(5,2),(5,9),(8,2),(8,9),(9,2),(9,9),(10,5),(10,6) \right\}。我必须找到一个E(\mathbb{F}_{11})子群的生成器，但是对于E(\mathbb{F}_{11})中的每一点P，当我试图

问在有限域$mathbb{F}11上求椭圆曲线上的子群
EN

回答 1

Cryptography用户

社区

活动

圈层

关于

腾讯云开发者

热门产品

热门推荐

更多推荐

问在有限域$mathbb{F}11上求椭圆曲线上的子群EN