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问数学中定积分与不定积分的区别？
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Stack Overflow用户

提问于 2011-09-20 21:09:44

回答 2查看 1.9K关注 0票数 14

我注意到mathematica把某些确定的积分排除在外，但是如果我做一个不有限的积分，并减去结果函数的极限值，它就会给我一个答案。

计算定积分和不定积分有不同的算法吗？是否有什么原因，上面所描述的程序不是由Mathematica手工完成的呢？

示例：

正如评论中的人们所要求的那样，这里有两个例子。

Timing[Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), x]]
Out:={0.010452,(-c+r x)/(r^2 Sqrt[c^2+r^2-2 c r x])}

立即获取输出。同时，

Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1}]

一直在计算，让我的旧电脑慢下来。经过一段时间之后，它会返回一个非常长的结果，其中包含了很多情况。这里是数学7。在这个积分中没有奇点，也没有遇到复数等。为了得到这个值，让我们现在中止运行大约一分钟的计算，并使用微积分基本定理手动找到值。

g = (r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2)
l = Integrate[g, x] /. x -> -1;
u = Integrate[g, x] /. x -> 1;
u - l
Out:= (-c+r)/(r^2 Sqrt[c^2-2 c r+r^2])-(-c-r)/(r^2 Sqrt[c^2+2 c r+r^2])
FullSimplify[%] 
Out:= ((-c+r)/Sqrt[(c-r)^2]+(c+r)/Sqrt[(c+r)^2])/r^2

这实际上是正确的。最后，为了完整起见，让我们比较一下定积分的输出和时间：

Timing[Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 
   1}]]
Out:= {174.52,If[(Re[c/r+r/c]>=2||2+Re[c/r+r/c]<=0||c/r+r/c\[NotElement]Reals)&&((Im[r] Re[c]+Im[c] Re[r]<=0&&((Im[c]+Im[r]) (Re[c]+Re[r])>=0||Im[c]^3 Re[r]+Im[r] Re[c] (Im[r]^2-Re[c]^2+Re[r]^2)>=Im[c] (Im[c] Im[r] Re[c]+Re[r] (Im[r]^2 ... blah blah half a page

注意三分钟的计算时间和非常混乱的答案。

我的工作中有一个实际的例子，我注意到了这一点，但在截止日期提交之后，我感到困惑，却忘记了，直到今天，我再次面临同样的问题。

f = 1/((-I c + k^2/2 - 1/2 (a + k)^2) (I d + k^2/2 - 
    1/2 (-b + k)^2)) + 1/((I c + k^2/2 - 1/2 (-a + k)^2) (I c + I d + 
    k^2/2 - 1/2 (-a - b + k)^2)) + 1/((I d + k^2/2 - 
    1/2 (-b + k)^2) (I c + I d + k^2/2 - 
    1/2 (-a - b + k)^2)) + 1/((I c + k^2/2 - 1/2 (-a + k)^2) (-I d + 
    k^2/2 - 1/2 (b + k)^2)) + 1/((-I c + k^2/2 - 
    1/2 (a + k)^2) (-I c - I d + k^2/2 - 
    1/2 (a + b + k)^2)) + 1/((-I d + k^2/2 - 1/2 (b + k)^2) (-I c - 
    I d + k^2/2 - 1/2 (a + b + k)^2))

当我尝试定积分时，等了几个小时，我又等了又等(没错！)最后，我决定尝试一下在短时间内奏效的解决办法：

fl =  Integrate[f, k] /. k -> -1 ;
fu =  Integrate[f, k] /. k -> 1 ;
F = fu - fl;
F1 = F /. {a -> .01, c -> 0, d -> 1};

，请注意，，我说的不是像一条评论所建议的那样是奇点。Integrate[1/x, {x, -1, 1}]几乎立即返回Integrate::idiv: Integral of 1/x does not converge on {-1,1}. >>，这是一个非常合理的输出。

wolfram-mathematica

回答 2

Stack Overflow用户

回答已采纳

发布于 2011-09-21 03:02:06

我认为Daniel在上面的评论是正确的：“很可能是确定的集成代码正在检查集成路径上的奇点”。

只需看：

Timing@Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1}]

Result -> None, I got bored waiting and aborted the calc

同时：

Timing@Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1},

Assumptions -> {r ∈ Reals && c ∈ Reals && c != r && c != -r}]

->{3.688, (-Sign[c - r] + Sign[c + r])/r^2}

因此，这是您为常量指定哪些条件的问题。

西蒙在上面的评论中提出了另一种方法：

Timing@Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1},  
                 GenerateConditions -> False]

{10.375, ((-c + r)/Sqrt[(c - r)^2] + (c + r)/Sqrt[(c + r)^2])/r^2}

最后，你也可以：

Timing@Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1},  
                 GenerateConditions -> True]

{16.45, ConditionalExpression[.. A long expression ...., Re[c^2 + r^2] > 0]}

票数 12

Stack Overflow用户

发布于 2011-09-21 17:35:09

贝里萨勒斯回答了这个问题。我只想对我在评论中的意思，以及它如何适用于这个例子有一点具体的说明。

被积体中的分母清楚地表明，如果，例如，r和c是实的、正的和r的，那么我们就有了一个问题。

In[1]:= InputForm[Timing[Integrate[(r - c*x)/(r^2 + c^2 - 2*r*c*x)^(3/2),
  {x, -1, 1}, Assumptions->r>c>0]]]
Out[1]//InputForm= {2.33, 2/r^2}

如果没有有用的假设，整合可能需要大量的时间来区分好坏行为的区域。引擎盖下的技术是令人望而生畏的(不平等处理可以是这样的)。也许它并不是在任何地方都能以最有效的方式应用。

更多资料可参阅

http://library.wolfram.com/infocenter/Conferences/5832/

或

http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2016567.2016569

丹尼尔·利希布鲁

票数 5

页面原文内容由Stack Overflow提供。腾讯云小微IT领域专用引擎提供翻译支持

原文链接：

https://stackoverflow.com/questions/7491825

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