如何使用Python证明根表达式是三次多项式的根
给定的多项式是
p = Poly(x**3-x**2-2*x+1, x) # and a root as radical expression:
rt = 1/3 + (-7/2 - 21*sqrt(3)*I/2)**(1/3)/3 + (-7/2 + 21*sqrt(3)*I/2)**(1/3)/3 将该根替换为多项式给出(简化)：
expr = 7*(-1 - 3*sqrt(3)*I)**(2/3)*(-1 + 3*sqrt(3)*I)**(1/3)/18 - \
7*2**(2/3)*(-7 + 21*sqrt(3)*I)**(1/3)/18 - \
7*2**(2/3)*(-7 - 21*sqrt(3)*I)**(1/3)/18 + \
7*(-1 - 3*sqrt(3)*I)**(1/3)*(-1 + 3*sqrt(3)*I)**(2/3)/18但是，无法让python显示该表达式为零：
expr == 0 # False但是：
expr.evalf() # gives -0.e-131 - 0.e-132*I回答 2
Stack Overflow用户
发布于 2021-03-11 12:27:17
有一个函数minpoly用于计算代数表达式的最小多项式：
In [71]: rt = S(1)/3 + (-S(7)/2 - 21*sqrt(3)*I/2)**(S(1)/3)/3 + (-S(7)/2 + 21*sqrt(3)*I/2)**(S(1)/3)/3
In [72]: rt
Out[72]:
_______________ _______________
╱ 7 21⋅√3⋅ⅈ ╱ 7 21⋅√3⋅ⅈ
3 ╱ - ─ - ─────── 3 ╱ - ─ + ───────
1 ╲╱ 2 2 ╲╱ 2 2
─ + ─────────────────── + ───────────────────
3 3 3
In [73]: minpoly(rt)
Out[73]:
3 2
x - x - 2⋅x + 1这表明这是你所显示的多项式的根。一般说来，r是多项式的根，p是多项式的根，而minpoly(r)是除以p的多项式。
我们还可以使用minpoly证明将根替换为多项式后的表达式为零：
In [74]: p = x**3-x**2-2*x+1
In [75]: p.subs(x, rt)
Out[75]:
2 3
_______________ ⎛ _______________ _______________⎞ ⎛ _______________ _______________⎞
╱ 7 21⋅√3⋅ⅈ ⎜ ╱ 7 21⋅√3⋅ⅈ ╱ 7 21⋅√3⋅ⅈ ⎟ ⎜ ╱ 7 21⋅√3⋅ⅈ ╱ 7 21⋅√3⋅ⅈ ⎟
2⋅3 ╱ - ─ + ─────── ⎜ 3 ╱ - ─ - ─────── 3 ╱ - ─ + ─────── ⎟ ⎜ 3 ╱ - ─ - ─────── 3 ╱ - ─ + ─────── ⎟
1 ╲╱ 2 2 ⎜1 ╲╱ 2 2 ╲╱ 2 2 ⎟ ⎜1 ╲╱ 2 2 ╲╱ 2 2 ⎟
─ - ───────────────────── - ⎜─ + ─────────────────── + ───────────────────⎟ + ⎜─ + ─────────────────── + ───────────────────⎟
3 3 ⎝3 3 3 ⎠ ⎝3 3 3 ⎠
_______________
╱ 7 21⋅√3⋅ⅈ
2⋅3 ╱ - ─ - ───────
╲╱ 2 2
- ─────────────────────
3
In [76]: minpoly(p.subs(x, rt))
Out[76]: x这里的最小多项式是x，它的唯一根是零。
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial_(field_theory) https://docs.sympy.org/latest/modules/polys/reference.html#sympy.polys.numberfields.minpoly
Stack Overflow用户
发布于 2021-03-11 10:29:27
这里的问题是浮点精度。你的方程中的很多运算都是有一点偏离的，特别是对于2/3或1/3，它们有无限小数。这在答案中得到了解释，比如这个How to avoid floating point errors?。为了避免这个问题，可以将结果截断到一个特定的小数点数以内，可以使用round
round(float_num, num_of_decimals)然后评估这是否等于零。
你可能会忍不住用Decimal，因为它的精度更高，但我怀疑即使用它，你也不会得到一个零，有些运算只是不产生有限小数的数字，所以有些量会在某个地方丢失，结果会非常接近于零，但并不是真的。
是否需要 131或132个小数点的精度才能达到零？
https://stackoverflow.com/questions/66580450
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