问为什么不标准化变量只会破坏解析的完备性

EN

这里有一个示例，可以帮助您可视化这一点。假设你的理论是

(for all X : nice(X)) or (for all X : smart(X)) (1)

如果分开进行标准化，将会产生CNF：

nice(X) or smart(Y)

也就是说，一个群体中的每个人都很好，或者每个人都很聪明，或者两者兼而有之。

分离标准化将产生一个CNF

nice(X) or smart(X)

这相当于

(for all X : nice(X) or smart(X)) (2)

也就是说，对于一个群体中的每个人来说，这个人要么是好的，要么是聪明的，或者两者兼而有之。

这个理论(2)比最初的理论(1)说得更少，更弱，因为它承认了一种情况，在这种情况下，不是每个人都是好的，也不是每个人都是聪明的，但每个人都是一个人或另一个人，或者两者兼而有之。换句话说，(2)并不意味着(1)，但(1)意味着(2) (如果整个群体都很好，那么每个人都很好；如果整个人群都很聪明，那么每个人都很聪明；因此，每个人要么很好，要么很聪明)。(2)接受的可能世界的集合严格大于(1)接受的可能世界的集合。

关于完整性和健壮性，这说明了什么？

使用(2)是不完整的，因为我可以向您展示(1)中的一个真定理的反例，该定理在使用(2)时不被证明为真。考虑一下定理“如果John不是很好而是聪明，那么Liz就是聪明的”。因此，我不能再使用(2)来证明一个真实的定理(在删除标准化之后)，因此我的推理是不完整的。

现在假设我用(2)证明了一些定理T是真的。这意味着T在(2)成立的每个可能的世界中成立，包括(1)成立的它们的子集(根据上面从这里开始的第三段)。因此，T在(1)中也是真的，所以使用(2)进行推理仍然是正确的。

简而言之:当你没有标准化分离时，你会“连接”关于整个域(群体)的陈述，并使它们关于个体，这将是较弱的，并且不会暗示以前暗示的一些事实；它们将丢失，并且你的过程将不完整。