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数学建模|饺子最多能包多少馅?

fem178

发布于 2023-08-23 13:36:53

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文章被收录于专栏：数值分析与有限元编程数值分析与有限元编程

数学建模|饺子最多能包多少馅?

饺子是深受中国人民喜爱的传统特色食品，又称水饺，是中国民间的主食和地方小吃，也是年节食品。有一句民谣叫“大寒小寒，吃饺子过年。”饺子多用面皮包馅水煮而成。

饺子包法，以月牙形和花边饺子为例，右手推着不动，左手推褶。中间对折捏上，把饺子架在虎口上，向中间挤。而花边饺子是饺子皮对折，并将边缘轻轻捏紧，左边边开始，用拇指和食指指腹轻轻地捏一下，用拇指和食指将捏好的饺子边折上去，并轻轻地捏一下，依次这样捏。

如图1所示，假定擀面杖的直径为8cm,饺子皮为半径为r的圆形。我们的问题是如何弯曲饺子皮，以最大限度地容纳馅。

图1

首先将饺子皮折叠在擀面杖周围，设

x

表示从饺子皮中心到直径上的点

P

的距离。如图2所示的坐标系，擀面杖的圆周的方程为

x^2+y^2=4

,点

x

处的截面高度为

2\sqrt{16-x^2}

。包馅的区域(图中阴影部分)截面积

图2

\begin{equation}\begin{split} A(x)& = A_1(x)-A_2(x)\\ &= \frac{1}{2}r^2\theta(x ) - \frac{1}{2}r^2sin\theta(x) \\ &= \frac{1}{2}r\cdot 2\sqrt{16-x^2}- \frac{1}{2}r^2sin(\frac{2\sqrt{16-x^2}}{r}) \\ & =r\sqrt{16-x^2}- \frac{1}{2}r^2sin(\frac{2\sqrt{16-x^2}}{r})\\ \end{split}\end{equation}

注意到

x

接近于边缘

(|x|=4)

，非常小，而当

x

接近中心

(|x|=0)

时，会超过180度。

\begin{equation}\begin{split} V(x)&=\int_{-4}^4A(x)dx\\ &=\int_{-4}^4[r\sqrt{16-x^2}- \frac{1}{2}r^2sin(\frac{2\sqrt{16-x^2}}{r})]dx\\ \end{split}\end{equation}

令

V(r)=\int_{-4}^4[r\sqrt{16-x^2}- \frac{1}{2}r^2sin(\frac{2\sqrt{16-x^2}}{r})]dx

通过数值方法求得当

r=2.29

时，

V

有最大值

52.94

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原始发表：2023-01-20，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除