专题四 多元函数积分学（1）
4.1 二重积分的计算
4.1 （浙江省2001年竞赛题）
计算
\displaystyle \underset{\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq 1}{\iint}\sqrt[3]{\sqrt{x}+\sqrt{y}}dxdy.
【解析】：化为先对
y后
x的二次积分，有
\begin{align*}\displaystyle \underset{\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq 1}{\iint}\sqrt[3]{\sqrt{x}+\sqrt{y}}dxdy&=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{(1-\sqrt{x})^2}\sqrt[3]{\sqrt{x}+\sqrt{y}}dy\qquad(t=\sqrt{y})\\&=2\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-\sqrt{x}}t\sqrt[3]{\sqrt{x}+t}dt\qquad(u=\sqrt{x}+t)\\&=2\int_{0}^{1}dx\int_{\sqrt{x}}^{1}\sqrt[3]{u}(u-\sqrt{x})du=2\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{7}u^{\frac{7}{3}}-\frac{3}{4}\sqrt{x}u^{\frac{4}{3}}\right)\bigg|_{\sqrt{x}}^{1}dx\\&=2\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{7}-\frac{3}{4}\sqrt{x}+\frac{9}{28}x^{\frac{7}{6}}\right)dx=\frac{2}{13}\end{align*}
4.2 （江苏省2012年竞赛题）
计算二重积分
\displaystyle\underset{D}{\iint}(x^2+xy)^2dxdy，其中
D为
\{(x,y)|x^2+y^2\leq 2x\}.
【解析】：曲线
x^2+y^2=2x的极坐标方程为
\rho =2\cos \theta，而区域
D也是关于
y=0对称，
2x^3y关于
y=0是奇函数，
x^2(x^2+y^2)关于
y=0是偶函数，根据对称性有
\begin{align*}\displaystyle \underset{D}{\iint}(x^2+xy)^2dxdy&=\underset{D}{\iint}x^2(x^2+2xy+y^2)dxdy=2\underset{D:y\geq 0}{\iint}x^2({x^2+y^2})dxdy\\&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{2\cos\theta}\rho^{5}\cos^2\theta d\rho=\frac{64}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta d\theta\\&=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{35}{256}\pi\end{align*}
4.3 （江苏省2002年竞赛题）
求
\displaystyle \underset{D}{\iint}|\sin(x-y)|dxdy，其中
D:x \geq 0,y \geq 0,x+y\leq \dfrac{\pi}{2}.
【解析】：首先要去绝对值，依题意知
-\dfrac{\pi}{2} \leq x-y \leq \dfrac{\pi}{2}，于是将
D划分为两块区域，则
D_{1}内有
0 \leq x-y \leq\dfrac{\pi}{2}，
D_{2}内
-\dfrac{\pi}{2}\leq x-y \leq 0，所以
\begin{align*}\displaystyle \underset{D}{\iint}|\sin(x-y)|dxdy&=\underset{D_{1}}{\iint}\sin(x-y)dxdy-\underset{D_{2}}{\iint}\sin(x-y)dxdy\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dy\int_{y}^{\frac{\pi}{2}-y}\sin(x-y)dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx\int_{y}^{\frac{\pi}{2}-x}\sin(x-y)dy\\&=-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(x-y)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}-y}dy-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(x-y)\bigg|_{x}^{\frac{\pi}{2}-x}dx\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\sin2y)dy+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\sin 2x)dx\\&=\frac{\pi}{2}-1\end{align*}
4.4 （全国大学生2013年决赛题）
求二重积分
\displaystyle \underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint}|x^2+y^2-x-y|dxdy【解析】：将式子
x^2+y^2-x-y=0凑一下圆的形式，则有
(x-\dfrac{1}{2})^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2，且由于去绝对值则可以将原区域划分为两块
D_{1}:|x^2+y^2-x-y| \leq 0和
D_{2}:|x^2+y^2-x-y| > 0，
\displaystyle \underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint}|x^2+y^2-x-y|dxdy=I，则
\begin{align*}\displaystyle I&=-\underset{D_{1}}{\iint}(x^2+y^2-x-y)dxdy+\underset{D_{2}}{\iint}(x^2+y^2-x-y)dxdy\\&=-2\underset{D_{1}}{\iint}(x^2+y^2-x-y)dxdy+\underset{D}{\iint}(x^2+y^2-x-y)dxdy\\&=-2\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0}d\theta\int_{0}^{\cos \theta+\sin \theta}(\rho^2-\rho(\cos\theta+\sin\theta))\rho d\rho-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\theta\int_{0}^{1}(\rho^2-\rho(\cos\theta+\sin\theta))\rho d\rho\\&-2\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}\theta\int_{0}^{1}(\rho^2-\rho(\cos\theta+\sin\theta))\rho d\rho+\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^3 d\rho\\&=\frac{1}{6}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0}(\cos \theta+\sin\theta)^4d\theta-\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}+\frac{1}{6}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(\cos\theta+\sin\theta)^4d\theta+\frac{\pi}{2}\qquad(\text{换元} \theta+\frac{\pi}{4}=t)\\&=\frac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^4tdt+\frac{2}{3}\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}\sin^4tdt+\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\\&=2(\frac{\pi}{16}-\frac{1}{6})+\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}=1+\frac{3\pi}{8}\end{align*}
作者：小熊
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