专题三 一元积分学 （5）
3.5 变限积分的应用
知识点：变限积分的几个公式
3.14 （南京大学1995年竞赛题）
求
\displaystyle\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}.
解：根据积分的放缩，有
\displaystyle\int_{x}^{x+1}\dfrac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}\leq \int_{x}^{x+1}\dfrac{dt}{\sqrt{x-1+x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}
同理
\displaystyle\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}\geq \int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{x+1+1+x}}=\frac{1}{\sqrt{2x+2}}
因此有
\displaystyle \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=2，
\displaystyle\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=2，所以原式
=2.
解题技巧：综合利用放缩法（利用分母以及三角函数的有界性），以及积分的计算。
3.15 （江苏省1998年竞赛题）
已知
g(x)是以
T为周期的连续函数，且
g(0)=1，
\displaystyle f(x)=\int_{0}^{2x}|x-t|g(t)dt，求
f^{'}(T).
解：先对函数进行区间拆分，有
\begin{align*}f(x)&=\int_{0}^{x}(x-t)g(t)dt+\int_{x}^{2x}(t-x)g(t)dt\\&=x\int_{0}^{x}g(t)dt-\int_{0}^{x}tg(t)dt+\int_{x}^{2x}tg(t)dt-x\int_{x}^{2x}g(t)dt\end{align*}
再求导得
\begin{align*}\displaystyle f^{'}(x)&=\int_{0}^{x}g(t)dt+xg(x)-xg(x)+4xg(2x)-xg(x)-\int_{x}^{2x}g(t)dt-2xg(2x)+xg(x)\\&=\int_{0}^{x}g(t)dt-\int_{x}^{2x}g(t)dt+2xg(2x)\end{align*}
令
x=T，根据周期以及初始值，带入得
\displaystyle f^{'}(T)=\int_{0}^{T}g(t)dt-\int_{T}^{2T}g(t)dt+2Tg(2T)=2T
解题技巧：带绝对值的定积分区间拆分，含参积分求导公式，以及定积分的周期性。
3.16 （浙江省2002年竞赛题）
设
f(x)连续，且当
x>-1时，有
\displaystyle f(x)\left(\int_{0}^{x}f(t)dt+1\right)=\frac{xe^x}{2(1+x)^2}
，求
f(x).
解：令
\displaystyle y(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+1，显然
y^{'}(x)=f(x)，带入原等式，
\displaystyle y^{'}(x)y(x)=\frac{xe^x}{2(1+x)^2}两边积分一下，左边有
\displaystyle \int y^{'}(x)y(x)dx=\int y(x)dy(x)=y^{2}(x)右边得
\begin{align*}\int\frac{xe^x}{2(1+x)^2}dx&=-\int xe^x\frac{dx}{1+x}\\&=-\frac{xe^x}{1+x}+\int\frac{1}{1+x}e^x(1+x)dx\\&=\frac{e^x}{1+x}+C\end{align*}
根据初始值，得
C=0，所以
\displaystyle y(x)=f(x)\sqrt{\frac{e^x}{1+x}}解题技巧：利用不定积分的性质，构造微分方程，其次分部积分法。
作者：小熊
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