专题三 一元积分学 （3）
3.3 利用定积分的定义求极限
3.9 （莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）
求
\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left[\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\dotsb+\frac{2^\frac{n}{n}}{n+\frac{1}{n}}\right]解：首先令
\displaystyle x_{n}=\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\dotsb+\frac{2^\frac{n}{n}}{n+\frac{1}{n}}，再放缩法，则
\displaystyle\frac{n}{n+1}(2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}\leq x_{n}\leq (2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}
根据定积分的定义得
\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}2^xdx=\frac{2^x}{\ln 2}\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{\ln 2}而
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{n}{n+1}=1，所以原式
=\frac{1}{\ln 2}3.10 （南京大学1995年竞赛题）
求
\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\dotsb+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}).
解：根据定积分得定义有
原式
=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{i}{n})^2}}\cdot\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\bigg|_{0}^{1}=\ln(1+\sqrt{2}).3.11 （浙江省2007年竞赛题）
设
\displaystyle u_{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{2}{6}+\dotsb+\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{2}{3n}
\displaystyle v_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dotsb+\frac{1}{3n}，求：（1）
\dfrac{u_{10}}{v_{10}}；（2）
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_{n}.
解：（1）
\begin{align*}\displaystyle u_{n}&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}-\frac{2}{3i})\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}+\frac{1}{3i}-\frac{3}{3i})\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}+\frac{1}{3i})-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}\end{align*}
而
v_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}，所以
\displaystyle \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_{10}}{v_{10}}=1（2）根据
\displaystyle u_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\frac{1}{n}，所以
\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_{n}=\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}dx=\ln 3作者：小熊
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