大学生数学竞赛非数专题二（8）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:55:59

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专题二一元微分学（8）

2.28 不等式的证明

2.37 （莫斯科钢铁与冶金学院1977年竞赛题）求证不等式

\dfrac{e^b-e^a}{b-a} < \dfrac{e^b+e^a}{2}\qquad(a\neq b)

解：由于

和

的关系不知道，所以设

a < b

，可以设

f(x)=(e^x+e^a)(x-a)-2(e^x-e^a)\qquad(x\geq a)

，有

f(a)=0

，对

f(x)

进行求导，且同时在应用拉格朗日中值定理，

\begin{align*}f^{'}(x)&=e^x(x-a)+(e^x+e^a)-2e^x=e^x(x-a)-(e^x-e^a)\\ &=e^x(x-a)-e^{\xi}(x-a)=(e^x-e^{\xi})\end{align*}

其中

a < \xi < x

，由于

e^x > e^{\xi}

，所以

f^{'}(x)\geq 0

；可以得

x > 0

时，

f(x)

单调递增，从而

f(x) > f(a)

，所以当

x > a

时，

(e^x+e^a)(x-a) > 2(e^x-e^a)

，此时取

x=b>a

，即可以得

(e^b+e^a)(b-a)>2(e^b-e^a)

，即

\dfrac{e^b-e^a}{b-a}<\dfrac{e^b+e^a}{2}

2.38 （江苏省1994年竞赛题）试比较

\pi^{e}

与

e^{\pi}

的大小。

解：构造函数

f(x)=e^x-x^e(x\geq e)

，则

f^{'}(x)=e^x-ex^{e-1}

，

f^{''}(x)=e^x-e(e-1)x^{e-2}

，

f^{'''}(x)=e^x-e(e-1)(e-2)x^{e-3}

知

e < 3

，所以

x^{e-3}

单调递减，

-e(e-1)(e-2)x^{e-3}

单调递增，而

e^x

也是单调递增，所以

f^{'''}(x)

在

x\geq e

时单调增，

\begin{align*}f^{'''}(x)\geq f^{'''}(e)&=e^x-e(e-1)(e-2)e^{e-3}\\&=e^{e-2}(e^2-e^2+3e-2)\\&=e^{e-2}(3e-2) >0\end{align*}

所以

f^{''}(x)

单调递增，

x\geq e

时，

f^{''}(x)\geq f^{''}(e)=e^e-e(e-1)e^{e-2}=e^{e-1} >0

所以

f^{'}(x)

单调递增，当

x\geq e

时

f^{'}(x) > f^{'}(e)=0

，因此，当

x > e

时，

f(x)>f(e)=0

，取

x=\pi

，即得

f(\pi) > 0

，所以

\pi^{e} < e^{\pi}

今天题目就到这里了，主要就是运用单调性证明问题，当一次求导不确定时，反复求导可以解决一些问题，其次也要注意中值定理的应用。有问题的欢迎留言。

作者：小熊

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