专题三 一元积分学 （1）
3.2.1 求原函数
3.1 （莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）
设
f^{'}(\sin^2 x)=\cos2x+\tan^2 x，
0 < x < 1，试求函数
f(x).
解：根据倍角公式以及三角函数关系式，有
\cos 2x=1-2\sin^2 x，
\displaystyle \tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}，可以令
\sin^2 x=t，则
\displaystyle f^{'}(t)=1-2t+\frac{t}{1-t}=-2t-\frac{1}{t-1}，积分得
f(t)=-t^2-\ln|t-1|+C，而且
0 < x < 1，所以
0 < t < 1，于是
f(x)=-x^2-\ln(1-x)+C3.2 （南京大学1993年竞赛题）
已知定义在
R上的函数
f(x)满足
f^{'}(x)=1,x\in(0,1]，
f^{'}(x)=x,
x\in(1,+\infty)，而
f(0)=1，求
f(x).
解：利用换元法，令
\ln x=t，则带入原式得，
f^{'}(t)=1,-\infty < t \leq 0，
f^{'}(t)=e^{t}，
t>0；再积分，得
f(t)=t+C_{1}，
-\infty < t \leq 0，
f(t)=e^{t}+C_{2}，
t > 0；令
t=0，则
f(0)=1=C_{1}=1+C_{2}，所以
C_{1}=1,
C_{2}=0，于是，可以得出最终的表达式，
f(x)=x+1，
-\infty < x\leq 0，
f(x)=e^{x}，
e^x > 03.3 （江苏省1991年竞赛题）
设
f(x)在
[0,+\infty)上连续，在
(0,+\infty)内可导，
g(x)在
(-\infty,+\infty)内有定义且可导，
g(0)=1，当
x>0时，
f(x)+g(x)=3x+2，
f^{'}(x)-g^{'}(x)=1f^{'}(2x)-g(-2x)=-12x^2+1，求
f(x)与
g(x)的表达式.
解：将原式中
f^{'}(x)-g^{'}(x)=1两边进行积分得
f(x)-g(x)=x+C_{1}，根据
f(0)=g(0)=1，可以得
C_{1}=0，因此
f(x)-g(x)=x，将上式与
f(x)+g(x)=3x+2联立，解出
f(x)=2x+1，
g(x)=x+1\qquad(x \geq 0)，在式子
f^{'}(2x)-g^{'}(-2x)=-12x^2+1，令
u=2x，有
f^{'}(u)-g^{'}(-u)=-3u^2+1，同理积分得
f(u)+g(-u)=-u^3+u+C_{2}，又根据
f(0)=g(0)=1，所以得
C_{2}=2，所以
g(-u)=-u^3+u+2-f(u)=-u^3-u+1\qquad(u\geq 0)，所以
g(x)=x^3+x+1\qquad(x < 0)3.4 （莫斯科全苏大学生1975年竞赛题）
求满足下列条件的可微函数
f(x)：对任意的
x，
y(x\neq y)，有
\dfrac{f(x)-f(x)}{y-x}=f^{'}(\alpha x+\beta y)，这里
\alpha\geq 0，
\beta\geq 0，且
\alpha+\beta=1.
解：利用换元，令
x=u-\beta v，
y=u+\alpha v，则有
y-x=v(v\neq 0)，
\alpha x+\beta y=u，所以有
f(y)-f(x)=f(u+\alpha v)-f(u-\beta v)=vf^{'}(u)
，再对
v求两次导就可以得
\alpha^2f(u+\alpha v)=\beta^2f^{''}(u-\beta v)，即有
\alpha^2f(y)=\beta^2f^{''}(x)，对于
\forall x,y(x\neq y)均成立，
（1）.若
\alpha\neq \beta，则有
f^{''}(x)=0，积分所求得的函数为
f(x)=C_{1}x+C_{2};
（2）.若
\alpha=\beta=\dfrac{1}{2}，则有
f^{''}(x)=C_{1}，积分得所求函数为
f(x)=\dfrac{C_{1}}{2}x^2+C_{2}x+C_{3};
上式中，
C_{1}，
C_{2}，
C_{3}均是任意常数。
今天的题目就到这里了，感谢大家的关注，主要就是换元求原函数的思想，其次注意函数的连续性，都是基本操作，大家可以多看两遍，熟悉一下基本的操作，熟能生巧，希望大家每天都有一份收获。有问题留言。
作者：小熊
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