专题二 一元微分学 （7）
2.2.7 导数在几何上的应用
1单调性 2极值 3最值 4凹凸性、拐点 5作函数图像 6渐近线：水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线
2.34 （江苏省2012年竞赛题）
求一个次数最低的多项式
P(x)，使得它在
x=1时取极大值
2，且
(0,2)是曲线
y=P(x)的拐点。
解：设
P^{''}(x)=a(x-2),积分一次可得
P^{'}(x)=a(\dfrac{x^2}{2}-2x)+b，再积分一次，得
P(x)=a(\dfrac{x^3}{6}-x^2)+bx+c；根据题意知
P^{'}(1)=-\dfrac{3}{2}a+b=0，
P(1)=-\dfrac{5a}{6}+b+c=2，
P(2)=-\dfrac{8a}{3}+2b+c=0，解得
a=6,b=9,c=-2；所以多项式为
P(x)=x^3-6x^2+9x-22.35 （江苏省1996年竞赛题）
设
y=f(x)=\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt[x]{x},&x >0\\
x,&x = 0\\
\end{array} \right.试讨论
f(x)的连续性，并求单调区间、极值与渐近线。
解：首先
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\ln x}{x}=-\infty，可以得
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\sqrt[x]{x}=\exp(\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\ln x}{x})=0而
f(0)=0，所以
f(x)在
x=0处右连续，当
x>0时，
f(x)是初等函数，
所以
f(x)在定义区间是连续的；而当
x>0时，
\displaystyle f(x)=\sqrt[x]{x}(\frac{\ln x}{x})^{’}=\sqrt[x]{x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}，令
f^{‘}(x)=0,解得
x=e，显然当
0< x < e时，
f^{'}(x) > 0；当
x > e时，
f^{'}(x) < 0；
所以
f(x)在
(0,e)上单调递增，在
(e,+\infty)上单调递减；根据单调性，
f(x)的最大值（极大值）为
f(e)=e^{\frac{1}{e}}，没有极小值；而
\displaystyle\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\exp(\frac{\ln x}{x})=\exp(\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{\frac{1}{x}}{1})=1所以
f(x)有水平渐近线
y=1。
2.36 （浙江省2009年竞赛题）
设函数
f(x)满足
f^{''}(x)>0，且
\int_{0}^{1}f(x)dx=0。证明：
\forall x\in[0,1]，
|f(x)|\leq \max\{f(0),f(1)\}。
解：记
\max\{f(0),f(1)\}=d.根据
f^{''}(x)>0，可知函数是凹的，
所以对于
\forall x\in[0,1]内，有
f(x)=f(1-x)\cdot 0+x\cdot 1\leq(1-x)f(0)+xf(1)\\\leq d(1-x)+dx=d \qquad (1)
取
\forall x_{0}\in(0,1)内，考虑连接点
(0,f(0)),(1,f(1))的折线，有
g(x)=f(0)+\dfrac{f(x_{0})-f(0)}{x_{0}-0}(x-0) \qquad x\in[0,x_{0})g(x)=f(x_{0})+\dfrac{f(1)-f(x_{0})}{1-x_{0}}(x-x_{0}) \qquad x\in(x_{0},1)根据
f(x)是凹函数，可知
f(x)\leq g(x)，所以有
\begin{align*}0=\int_{0}^{1}f(x)dx\leq\int_{0}^{1}g(x)dx&=\frac{1}{2}(f(0)+f(x_{0}))x_{0}+\frac{1}{2}(f(x_{0})+f(1))(1-x_{0})\\&=\frac{1}{2}f(x_{0})+\frac{1}{2}(f(0)x_{0}+f(1)(1-x_{0}))\end{align*}即
-f(x_{0})\leq f(0)x_{0}+f(1)(1-x_{0})\leq dx_{0}+d(1-x_{0})=d \qquad(2)
，
所以，根据
(1)和
(2)知，
\forall x\in[0,1]，有
|f(x)|\leq d，即
|f(x)|\leq \max\{f(0),f(1)\}。
好了，今天的题目就到这里了，三个题目都很有趣，注意单调性以及凹凸性的应用，以及渐近线的应用。有问题欢迎留言。
作者：小熊
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