专题二 一元微分学（5）
2.5 麦克劳林公式以及泰勒公式的应用
知识点：
（1）假设函数
f(x)在
x=a的某一领域
U內
(n+1)接可导，则
\forall x \in U，
f(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)+\dotsb+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x-a)^{n}+R_{n}(x) \qquad (1)
称上式为
(1)为
f(x)在
x=a的
n阶泰勒公式，
R_{n}(x)为其余项。
R_{n}(x)=\dfrac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{(n+1)} \qquad (2)
或者
R_{n}(x)=o(x-a)^{n} \qquad (3)
其中
\xi \in (a,x)内，将
(2)式称为拉格朗日余项，将
(3)称为皮亚若余项。
（2）假设函数
f(x)在
x=0的某一领域
U內
(n+1)接可导，则
\forall x \in U，
则有
f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\dotsb+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^{n}+o(x^{n})
将上式称为
f(x)的麦克劳林公式。
（3）. 常见几个函数的一些麦克劳林公式
e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\dotsb+\frac{1}{n!}x^{n}
\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5+\dotsb+(-1)^{n}\dfrac{1}{(2n+1)!}x^{(2n+1)}+o(x^{(2n+1)})
cos x=1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4+\dotsb+(-1)^{n}\dfrac{1}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n})
\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dotsb+x^n+o(x^{n})\ln(1-x)=-x-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{3}x^3-\dotsb-\dfrac{1}{n}x^n+o(x^{n})--- > 例2.25 （**江苏省2004年竞赛题**） > > 当
x\rightarrow 0时，
x-\sin x\cos x\cos 2x与
cx^{k}是等价无穷小，求
c,k. **解**：首先根据三角函数和差化积公式，有
x-\sin x\cos x\cos 2x=x-\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x=x-\frac{1}{4}\sin 4x而
\sin u=u-\dfrac{1}{3!}u^3+o(u^3)，所以
\begin{align*}x-\sin x\cos x\cos 2x&=x-\frac{1}{4}[4x-\frac{1}{6}(4x)^{3}+o(x^{3})]\\&=x-x+\frac{8}{3}x^3+o(x^{3})=\frac{8}{3}x^3+o(x^{3})\end{align*}
所以当
x\rightarrow 0时，原式
\rightarrow cx^k，则
c=\dfrac{8}{3},k=3例2.26 （全国大学生2016年决赛题）
求极限
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}n\sin(\pi n! e)解：首先根据函数
e^{x}的马克劳林展开式，取
x=1，有
\begin{align*}\displaystyle\pi n!e&=\pi n![1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dotsb+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}+o(\frac{1}{(2n+1)!})]\\&=\pi(2\cdot n!+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{3!}+\dotsb+\frac{n!}{n!})+\frac{\pi}{n+1}+o(\frac{1}{n+1})\end{align*}
记
\displaystyle f(n)=\pi(2\cdot n!+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{3!}+\dotsb+\frac{n!}{n!})+\frac{\pi}{n+1}+o(\frac{1}{n+1}),k\in N^{*}，则
\begin{align*}\displaystyle f(2k)&=2\cdot (2k)!+\frac{(2k)!}{2!}+\frac{(2k)!}{3!}+\dotsb+\frac{(2k)!}{(2k)!}\\&=2\cdot(2k)!+(2k)(2k-1)\dotsb 3+(2k)(2k-1)\dotsb 1+\dotsb+(2k)+1\end{align*}
\begin{align*}\displaystyle f(2k+1)&=2\cdot (2k+1)!+\frac{(2k+1)!}{2!}+\frac{(2k+1)!}{3!}+\dotsb+\frac{(2k+1)!}{(2k+1)!}\\&=2\cdot(2k+1)!+(2k+1)(2k)\dotsb 3+(2k+1)(2k)\dotsb 1++(2k+1)(2k)+(2k+1)+1\end{align*}
由此可知，
f(2k)为奇数，
f(2k+1)为偶数，于是
\begin{align*}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}n\sin(\pi n! e)&=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(\pi f(n)+\frac{\pi}{n+1}+o(\frac{1}{n+1}))\\&=\pm\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}n(\sin(\frac{\pi}{n+1}+o(\frac{1}{n+1}))\\&
=\pm\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}n(\frac{\pi}{n+1}+o(\frac{1}{n+1}))=\pm \pi\end{align*}
例2.27 （莫斯科电子技术学院1997年竞赛题）
求
\displaystyle \underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\tan(\tan x)-(\sin (\sin x))}{\tan x-\sin x}解：根据等价无穷小，当
x\rightarrow 0时，有
\displaystyle\tan x-\sin x=\sin x\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\rightarrow \frac{1}{2}x^{2}，
\displaystyle\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)，
\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)，所以
\begin{align*}\tan(\tan x)&=\tan\left(x+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)\right)\\&=\left(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\right)+\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\right)^3+o(x^3)\\&=x+\frac{2}{3}x^3+o(x^3)\end{align*}
\begin{align*}\displaystyle\sin (\sin x)&=\sin\left(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\right)\\&=\left(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\right)-\frac{1}{6}\left(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\right)^3+o(x^3)\\&=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\end{align*}
因此原式
\displaystyle=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{x+\dfrac{2}{3}x^3+o(x^3)-x+\dfrac{1}{3}x^3
+o(x^3)}{\dfrac{1}{2}x^2}=2例2.28 （全国大学生2012决赛题）
求
\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}[(x^3+\dfrac{x}{2}-\tan\dfrac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}-\sqrt{1+x^6}]解：先展开，则原式
\begin{align*}\displaystyle &=\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}[(x^3+\frac{x}{2})e^{\frac{1}{x}}-\sqrt{1+x^6}-\tan\frac{1}{x}\cdot e^{\frac{1}{x}}]\\&=\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}(x^3+\frac{x}{2})e^{\frac{1}{x}}-\sqrt{1+x^6}\end{align*}
再令
\dfrac{1}{x}=t，则原式
\begin{align*}\displaystyle&=\underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{(2+t^2)e^t-2\sqrt{1+t^6}}{2t^3}(\text{应用马克劳林公式})\\&=\underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{(2+t^2)(1+t+\dfrac{1}{2!}t^2+\dfrac{1}{3!}x^3+o(t^3))-2(1+\dfrac{1}{2}t^6+o(t^6))}{2t^3}\\&=\underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{2t+o(t)}{2t^3}=+\infty\end{align*}
例2.29（北京市1999年竞赛题）
设
f(x)具有连续的二阶导数，且
\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(1+x+\dfrac{f(x)}{x})^{\dfrac{1}{x}}=e^3，求
f(0),f^{'}(0),f^{''}(0)，以及
\displaystyle \underset{x\rightarrow 0}{\lim}(1+\dfrac{f(x)}{x})^{\dfrac{1}{x}}解：首先取对数，
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(1+x+\frac{f(x)}{x})^{\frac{1}{x}}=e^3，有
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})}{x}=3，所以
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})=0\Longrightarrow \underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)}{x}=0显然
f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f(x)=0，
f^{'}(0)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)}{x}=0，由
\begin{align*}3=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\ln(1+x+\dfrac{f(x)}{x})}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{x+\dfrac{f(x)}{x}}{x}=1+\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)}{x^2}\end{align*}所以
\displaystyle \underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)}{x^2}=2，再由麦克劳林公式有
\displaystyle f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\dfrac{f^{''}(0)}{2}x^2+o(x^2)
，所以
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)}{x^2}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\dfrac{f^{''}(0)}{2}x^2+o(x^2)}{x^2}=\dfrac{f^{''}(0)}{2}=2，所以
f^{''}(0)=4，则
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(1+\dfrac{f(x)}{x})^{\dfrac{1}{x}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(1+\dfrac{f(x)}{x})^{\dfrac{x}{f(x)}\cdot \dfrac{f(x)}{x^2}}=e^{\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)}{x^2}}=e^2例2.30 （全国大学生2011年决赛题）设函数
f(x)在
x=0处的某领域具有二阶连续导数，且
f(0),f^{'}(0),f^{''}(0)均不为
0，证明：存在唯一的一组实数
k_{1},k_{2},k_{3}使得
\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{k_{1}f(h)+k_{2}f(2h)+k_{3}f(3h)}{h^2}=0解：根据马克劳林公式，有
f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\dfrac{f^{''}(0)}{2!}x^2+o(x^2)
分，别带入
f(h)=f(0)+f^{'}(0)h+\dfrac{f^{''}(0)}{2}h^2+o(h^2)，
f(2h)=f(0)+f^{'}(0)2h+\dfrac{f^{''}(0)}{2}(2h)^2+o((2h)^2)，
f(3h)=f(0)+3f^{'}(0)h+\dfrac{f^{''}(0)}{2}(3h)^2+o((3h)^2)，带入得
\begin{align*}\displaystyle\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{k_{1}f(h)+k_{2}f(2h)+k_{3}f(3h)}{h^2}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\left[\dfrac{(k_{1}+k_{2}+k_{3})f(0)+(k_{1}+2k_{2}+3k_{3})f^{''}(0)}{h^2}+\frac{\dfrac{1}{2}(k_{1}+4k_{2}+9k_{3})f^{''}(0)h^2+o(h^2)}{h^2}\right]=0\end{align*}
则有
\begin{cases}
k_{1}+k_{2}+k_{3}=1\\
k_{1}+2k_{2}+4k_{3}=0\\
k_{1}+4k_{2}+9k_{3}=0
\end{cases}根据克莱姆法则，得
k_{1}=3,k_{2}=-3,k_{3}=1今天的题目就到这里了，这几个题目利用麦克劳林公式以及泰勒展开，综合运用，大家自己好好体验。有问题留言！
作者：小熊
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