专题二 一元微分学 （2）
知识点：
2.2 求导法则
（1）四则运法则：假设函数
u,v可导，则
和差法则：
(u+v)^{'}=u^{'}+v^{'}乘法法则：
(uv)^{'}=u^{'}v+uv^{'}除法法则：
(\dfrac{u}{v})^{'}=\dfrac{u^{'}v-uv^{'}}{v^2}（2）复合函数求导链式法则
(f(\varphi(x)))^{'}=f^{'}(\varphi(x))\varphi^{'}(x)（3）反函数、隐函数与参数式函数求导法则
（4）取对数求导法则
f^{'}(x)=f(x)(\ln |(f(x)|)^{'}例2.7 （浙江省2003年竞赛题）
求
\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{2^{-n}}{n(n+1)}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}k^2解：首先根据二项式定理，可知
(1+x)^{n}=1+C_{n}^{1}x+\dotsb+C_{n}^{n}x^n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}x^{k}
两边求导一次，可以得
\displaystyle n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot kx^{k-1},两边同时乘以
x，再求导一次，
n(1+x)^{n-1}+n(n-1)xx^{n-2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot k^2x^{k-1}
再令
x=1，得
n\cdot2^{n-1}+n(n-1)\cdot2^{n-2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot k^2,
化简一下得
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot k^2=\frac{1}{4}2^nn(n+1)，所以
\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{2^{-n}}{n(n+1)}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot k^2=\frac{1}{4}例2.8 （江苏省1998年竞赛题）
函数
f(x)=(x^2+3x+)|x^3-x|的不可导点个数有几个？
解：根据函数的样式，可以假想函数是乘法公式的求导应用，令
u(x)=x^3+3x+2,
v(x)=|x^3-x|,显然
u(x)处处可导，而
v(x)在
x=-1,0,1处不可导，在其他地方点点可导，
u(-1)=0,u(0)=2,u(1)=6，
v^{'}_{-}(-1)=-2,v^{'}_{+}(-1)=2；
v^{'}_{-}(0)=-1,v^{'}_{+}(0)=1；
v^{'}_{-}(1)=-2,v^{'}_{+}(1)=2，所以
f(x)=u(x)v(x),而
u^{'}_{\pm}(x)=u^{'}(x),则
f_{-}^{'}(x)=u^{'}v(x)+u(x)v^{'}_{-}(x)，
f^{'}_{+}(x)=u^{'}v(x)+u(x)v^{'}_{+}(x)，将
x=-1,0,1分别带入上式得
f_{-}^{'}(-1)=u^{'}(-1)v(-1)+u(-1)v^{'}_{-}(-1)=0+0\cdot(-2)=2
f_{+}^{'}(-1)=u^{'}(-1)v(-1)+u(-1)v^{'}_{+}(-1)=0+0\cdot2=0
f_{-}^{'}(0)=u^{'}(0)v(0)+u(0)v^{'}_{-}(0)=0+2\cdot (-1)=-2
f_{+}^{'}(0)=u^{'}(0)v(0)+u(0)v^{'}_{+}(o)=0+2\cdot 1=2
f_{-}^{'}(1)=u^{'}(1)v(1)+u(1)v^{'}_{-}(1)=0+6\cdot(-2)=-12
f_{+}^{'}(1)=u^{'}(1)v(1)+u(1)v^{'}_{+}(1)=0+6\cdot 2=12
可知
f_{-}^{'}(0)\neq f_{+}^{'}(0)，
f_{-}^{'}(1)\neq f_{+}^{'}(1)，而
f_{-}^{'}(-1)=f_{+}^{'}(-1)故有两个不可导点.
例 2.9 （南京大学1996年数学竞赛题）
证明：两条心脏线
\rho=a(1+\cos \theta)与
\rho=a(1-\cos \theta)在交点处的切线相互垂直.
解：首先将参数方程化为直角坐标方程，对于
\rho=a(1+\cos \theta)，化简得
x=a(1+\cos \theta)\cos \theta，
y=a(1+\cos \theta)\sin \theta,则斜率（导函数）为
\displaystyle k_{1}=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=\dfrac{\cos \theta+\cos 2\theta}{-\sin \theta-\sin 2\theta}
同理对于
\rho=a(1-\cos \theta),则直角坐标为
x=a(1-\cos \theta)\cos \theta,
y=a(1-\cos \theta)\sin \theta，
同理斜率为
\displaystyle k_{2}=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=\frac{\cos \theta-\cos 2\theta}{-\sin\theta+\sin 2\theta}，求两条曲线的交点，联立方程组
\begin{cases}\rho=a(1+\cos \theta) \\\rho=a(1-\cos \theta)\end{cases}
解得
\cos \theta=0所以交点坐标为
(\dfrac{\pi}{2},a)和
(\dfrac{3\pi}{2},a)，
在
\theta=\dfrac{\pi}{2}处，
k_{1}=\dfrac{0-1}{-1-0}=1，
k_{2}=\dfrac{0+1}{-1+0}=-1，因为
k_{1}k_{2}=-1，所以在
(\frac{\pi}{2},a)处切线垂直；在
\theta=\dfrac{3\pi}{2}处，
k_{1}=\dfrac{0-1}{-1-0}=1，
k_{2}=\dfrac{0+1}{-1+0}=-1，同理
k_{1}k_{2}=-1，所以在
(\dfrac{3\pi}{2},a)处切线垂直。
好了，今天的题目就到这里了，最近，个人认证通过了。第一题利用了二项式的展开式定理，后面主要是凑要求的式子，综合利用变形求得，最后直接变形就可以得出结果。（注意二项式定理的逆用）。第二题主要考察函数求导，注意乘法的公式的应用，再利用导数存在的必要条件，求出单个函数在某点左右（该点导数不存在）的导数值，最后带入即可。第三题是考察参数式的导数问题，首先求导数，先变为直角坐标，然后进行求导，注意切线垂直的应用，带入检验即可。有问题留言，谢谢大家的支持！
作者：小熊
粤公网安备44030502008569号