专题二 一元微分学 （1）
知识点：
2.1.1 导数的定义
（1）任意点的导数：
f^{'}(a)=\underset{\Box \rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(a+\Box)-f(a)}{\Box}=\underset{x\rightarrow a}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}（2）0处的导数：
f^{'}(0)=\underset{\Box \rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(\Box)-f(0)}{\Box}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}2.1.2 左、右导数的定义
左导数：
f_{-}^{'}(a)=\underset{x\rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(a+\Box)-f(a)}{\Box}=\underset{x\rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}右导数：
f_{+}^{'}(a)=\underset{x\rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(a+\Box)-f(a)}{\Box}=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}导数存在的定义：左右导数都存在，即
f^{'}(a)=f^{'}_{-}(a)=f^{'}_{+}(a)2.1 利用导数的定义
例2.1 （北京市1994年数学竞赛题）设函数
f(x)在
(-\infty,+\infty)内有定义，且对任意的
x都有
f(x+1)=2f(x)，且当
0\leq x\leq1时，有
f(x)=x(1-x^2)，请判断
x=0处函数是否可导.
解：当
-1\leq x < 0时，有
0\leq x+1 < 1，所以
\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2}f(x+1)=\dfrac{1}{2}(x+1)(1-(x+1)^2)=-\dfrac{x}{2}(x+1)(2+x)
\displaystyle f^{'}_{-}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\dfrac{-\dfrac{x}{2}(x+1)(2+x)}{x}=-1
同理
f_{+}^{'}(0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim}\dfrac{x(1-x^2)}{x}=1，由于
f^{'}_{-}(0)\neq f^{'}_{+}(0),所以
f(x)在
x=0处不可导。
例2.2 （江苏省2000年数学竞赛题）
设
f(x)可导，
F(x)=f(x)(1+|\sin x|)，若
F(x)在
x=0处可导,则下列条件必须满足（）
\begin{align*}&A.f^{'}(0)=0\qquad B.f(0)=0 \\&C.f(0)+f^{'}(0)=0 \qquad D.f(0)-f^{'}(0)=0\end{align*}
解：根据导数定义知，
\begin{align*}F^{'}(0)&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{F(x)-F(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)(1+|\sin x|)-f(0)}{x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(\frac{f(x)-f(0)}{x}+\frac{f(x)|\sin x|}{x})=f^{'}(0)+f(0)\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{|\sin x|}{x}\end{align*}
由于
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{|\sin x|}{x}分左右导数，左导数
\displaystyle\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\frac{|\sin x|}{x}=-1，而右导数
\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim}\frac{|\sin x|}{x}=1，要使导数存在，则
-f(0)=f(0)，即
f(0)=0,所以题目选B.
例2.3 （江苏省1996年数学竞赛题）
设
x=0时，有
\displaystyle\frac{d}{dx}f(\sin x)=\frac{d}{dx}f^{2}(\sin x)，且
f^{'}(0)\neq 0，求
f(0)的值
解：首先根据
f(x)可导，则
f(x)连续，有
f(x)在
x=0处连续。应用
x=0的导数定义，得
\displaystyle\frac{d}{dx}f(\sin x)\bigg|_{x=0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(\sin x)-f(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(\sin x)-f(0)}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}=f^{'}(0)而
\begin{align*}\frac{d}{dx}f^{2}(\sin x)\bigg|_{x=0}&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f^{2}(\sin x)-f^{2}(0)}{x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(\sin x)-f(0)}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot(f(\sin x)+f(0))\\&=2f(0)f^{'}(0)\end{align*}根据可导，则有
f^{'}(0)=2f(0)f^{'}(0)，解得
f(0)=\dfrac{1}{2}.
例2.4 （北京市1991年数学竞赛题）
设
f是可导函数，对于任意实数
s,t均有
f(s+t)=f(s)+f(t)+2st，且
f^{'}(0)=1，求函数
f的表达式.
解：根据
f(0)可导，令
t=0，带入原式有
f(s)=f(s)+f(0)，则
f(0)=0，由导数
\displaystyle f^{'}(0)=\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(s)}{s}=\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(0+s)-f(0)}{s}=1而
\displaystyle f^{'}(t)=\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(s+t)-f(t)}{s}=\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(s)}{s}+2t=2t+1
再进行积分得
\displaystyle\int f^{'}(t)dt=\int(2t+1)dt=t^2+t+C，而
f(0)=0,则
C=0，所以
f(x)=x^2+x.
例2.5 （精选题）
设
\displaystyle f(x)\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{x^2e^{n(x-1)}+ax+b}{1+e^{n(x-1)}}，讨论
f(x)的连续性以及可导性.
解：根据题意有，可知
f(1)=\dfrac{1}{2}(1+a+b),当
x>1时，
f(x)=x^2,当
x<1时，
f(x)=ax+b;而
f(1^{-})=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}ax+b=a+b，
f(1^{+})=1,当
a+b=1=\dfrac{1}{2}(1+a+b)，即
a+b=1时，函数连续；且有
f(1)=1，又
\displaystyle f_{-}^{'}(1)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{ax+b-1}{x-1}=\frac{a}{1}=a
同理
\displaystyle f_{+}^{'}(1)\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim}x+1=2
当且仅当
a=2,b=-1时
f在
x=1处连续且可导.
例2.6 （江苏省2006年数学竞赛题）
设
f(x)=\begin{cases}ax^2+b\sin x+c,&x\leq 0\\ln(1+x),&x>0 \end{cases}
，试问当
a,b,c为何值时，
f(x)在
x=0处一阶导数连续，但是二阶导数不存在。
解：显然
f(x)在
x=0是连续的，有
f(0^{-})=c，
f(0^{+})=0,所以
c=0，且
\displaystyle f^{'}_{-}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\frac{ax^2+b\sin x}{x}=b，
\displaystyle f^{'}_{+}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}\frac{\ln(1+x)}{x}=1所以
b=1，当
x=0时，
f^{'}(x)=1;
f^{'}(x)=\begin{cases}2ax+\cos x,&x<0\\\dfrac{1}{1+x},&x>0 \end{cases}
因为
f^{'}(0-)=1，
f^{'}(0+)=1，
f^{'}(0)=1，所以当
b=1,c=0时
f^{'}(x)在
x=0处连续；而同时
\displaystyle f^{''}_{-}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\frac{2ax+\cos x-1}{x}=2a，
\displaystyle f^{''}_{+}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{x}=-1,所以当
2a\neq-1时，
f(x)在
x=0处二阶不可导.综合上述，
a\neq-\dfrac{1}{2},b=1,c=0满足题意。
今天的题目都比较有趣，都是一些常见的套路，证明可导一般要用到连续，而证明导数的存在更重要的是解决左右导数的问题，同时对于极限的求法又是一个关键点。大家可以仔细看看，有问题留言！谢谢
作者：小熊
粤公网安备44030502008569号