专题一 函数与极限 (7)
1.2.7 连续性与间断点
1.函数的连续性
1.1函数连续的定义：
f(x)在某邻域
x=a有定义，假设
\underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=f(a),则称
f(x)是连续的。同理左连续，假设函数
f(x)在
x=b处有定义，有
\underset{x\rightarrow b^{-}}{\lim}f(x)=f(b),同理右连续，函数
f(x)在
x=a处有定义，假设
\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim}f(x)=f(a),假设
f(x)在
(a,b)连续，记作
f(x)\in C(a,b),同理假设
f(x)在
x=a处左连续，在
x=b处右连续，则称
f(x)\in C[a,b]1.2 连续函数具有四则运算性质 1.3 复合函数的极限与连续性
定理1:假设
\underset{x\rightarrow a}{\lim}\varphi(x)=b，函数
f(x)在
x=b处连续 ，则有
\underset{x \rightarrow a}{\lim}f(\varphi(x))=f(\varphi(a))=f(b)定理2：初等函数在有定义的区间均是连续的 补充一下：闭区间连续函数的几个性质
定理1（有界定理）：若
f(x) \in C[a,b]，则
\exists M>0，使得
|f(x)|\leq M定理2（最值定理）：若
f(x) \in C[a,b]，则
\exists m,M为f(x)的最小值以及最大值，使得
m\leq f(x)\leq M定理3（零点定理）：若
f(x) \in C[a,b]，有
f(a)f(b)<0，则
\exists \xi \in(a,b)，使得
f(\xi)=01.24 (江苏省1998年竞赛题) 求
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}|\pi sin(\sqrt{n^2+n})|.
解：可知
\begin{align*}\displaystyle|\sin( \pi\sqrt{n^2+n})|&=|\sin[n\pi+(\sqrt{n^2+n}-n])\pi|\\&=|\sin n\pi\cdot \cos(\sqrt{n^2+n}-n)\pi+\cos n\pi\cdot \sin(\sqrt{n^2+n}-n)\pi|\\&=|0+(-1)^{n}\sin(\sqrt{n^2+n}-n)\pi|=|\sin(\sqrt{n^2+n}-n)\pi|\\&=|\sin\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\pi|=\sin\frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\end{align*}
所以原式
\displaystyle=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{\pi}{1+\sqrt{\frac{1}{n}}}=\sin\frac{\pi}{2}=1例1.25 （江苏省2005年竞赛题） 设函数
f(x)在区间
(-\infty,+\infty)上有定义，在
x=0处连续，且对于一切的实数
x_{1},x_{2}，均有
f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})，求证：
f(x)在
(-\infty,+\infty)上处处连续.
解 ：取
x_{1},x_{2}=0，根据
f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})，则有
f(0+0)=2f(0)得
f(0)=0，由于
f(x)在
x=0连续的，
\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f(x)=f(0)=0；任取
x_{0} \in (-\infty,+\infty),取
t \rightarrow 0，根据等式，取极限
\begin{align*}\displaystyle\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim}f(x)&=\underset{t \rightarrow 0}{\lim}f(x_{0}+t)=\underset{t \rightarrow 0}{\lim}(f(x_{0}+f(t)))\\&=\underset{t \rightarrow 0}{\lim}f(t)+f(x_{0})=0+f(x_{0})\\&=f(x_{0})\end{align*}
例1.25 (北京市1992年竞赛题) 设函数
f(x)在
(0,1)上有定义，且函数
e^xf(x)与函数
e^{-f(x)}在
(0,1)上是单调递增的，求证：
f(x)在
(0,1)上连续 。
解 ：首先考虑右连续，任取
x{0} \in (0,1)，当
0< x_{0} < x < 1，
e^{-f(x)}是单调递增，故
e^{-f(x_{0})}\leq e^{-f(x)},则
f(x_{0})\geq f(x)，同时
e^{x}f(x)是单调递增，所以
e^{x_{0}}f(x_{0})\leq e^{x}f(x),得
e^{x_{0}-x}f(x_{0})\leq f(x)\leq f(x_{0})，令
x\rightarrow x_{0}^{+}，再取极限，根据夹逼准则，得
\underset{x \rightarrow x_{0}^{+}}{\lim}f(x)=f(x_{0})，故
f(x)是右连续的，同理可以证明其左连续，而
x_{0}是任意性的，知
f(x)在
(0,1)是连续的。
2.间断点的分类
若
f(x)在
x=a处不连续，则称
x=a是
f(x)的一个间断点。间断点分成两类：
（1）
f(a^{-})与
f(a^{+})均存在，称
x=a是
f(x)的第一类间断点；若
f(a^{-})=f(a^{+}),则称
x=a是可去间断点，反之，
f(a^{-})\neq f(a^{+}),即
x=a是其跳跃间断点
（2）假设
f(a^{-})和
f(a^{+})至少一个不存在，则称
x=a为
f(x)的第二类间断点
例1.26 （精选题） 设
\displaystyle f(x)=\frac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}有可去间断点
x=1，求
a,b的值
解：因为
x=1是
f(x)的可去间断点，所以
a=1或者
b=1，（1）当
b=1,由于
\displaystyle\underset{x \rightarrow 1}{\lim}\frac{e^x-1}{(x-a)(x-1)}=\infty，所以不符合；（2）当
a=1时，要
\displaystyle\underset{x \rightarrow 1}{\lim}\frac{e^x-b}{(x-1)(x-b)}存在，则必须
b=e，则有
\displaystyle\underset{x \rightarrow 1}{\lim}\frac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}=\underset{x \rightarrow 1}{\lim}\frac{e(e^{x-1}-1)}{(x-1)(x-e)}=\frac{e}{1-e}
，所以满足条件 .
题目比较基础，重要的是套路的判断，注意连续性题目的方法，综合极限反复定义，就可以得出结果；间断点的问题比较基础，还是传统方法，本质求极限。注意之前的方法。有问题欢迎留言！
作者：小熊
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