学习回归 1-4 多项式回归

触摸壹缕阳光

发布于 2022-11-08 13:34:45

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多项式回归

前面对于已知的数据点，我们一直使用一次函数来进行拟合，一次函数的图形为一条直线。

f_{\theta}(x) = \theta_0 + \theta_1x

不过，对于这些添加的数据点，曲线可能比直线的拟合效果更好。

f_{\theta}(x) = \theta_0 + \theta_1x+\theta_2x^2

如果想要表示更加复杂的曲线，还可以使用更高的次数。

f_{\theta}(x) = \theta_0 + \theta_1x + \theta_2x^2 + \cdots+ \theta_nx^n

我们可以随便决定

f_{\theta}(x)

是什么样的函数，不过对于要解决的问题，找到合适的表达式之前，需要不断地去尝试。更高次数的曲线能够更好的拟合所有数据点，甚至能够完全拟合所有的数据点，但是数据点中包含很多的噪声。

类比于考试，我们平时练习的题目对应到机器学习中的学习阶段（找到合适的参数），而考试对应到机器学习中的测试阶段（验证找到的参数是否能够解决实际的问题），更高次数的曲线相当于我们将平时练习的题目死记硬背了下来，没有学习到题目中的规律和技巧，虽然平时练习能够得到好成绩，但是我们的目的是为了和平时练习题目不同的考试，自然考试的成绩不会太高，相对应的找到的参数并不能解决实际的问题。这也是机器学习中非常重要的 过拟合问题。

\frac{\partial E}{\partial \theta_2} = \frac{\partial E}{\partial f_{\theta}(x)}\frac{\partial f_{\theta}(x)}{\partial\theta_2}

前文已知

\frac{\partial E}{\partial f_{\theta}(x)} = \sum_{i=1}^{n}(y^{(i)} - f_{\theta}(x^{(i)}))

，只需要求出

\frac{\partial f_{\theta}(x)}{\partial \theta_2}

。

\begin{split} \frac{\partial f_{\theta}(x)}{\partial \theta_2} &= \frac{\partial}{\partial \theta_2}(\theta_0 + \theta_1x + \theta_2x^2)\\ &=x^2 \end{split}

对于

f_{\theta}(x) = \theta_0 + \theta_1x+\theta_2x^2

的参数更新表达式为：

\begin{split} \theta_0 &:= \theta_0 - \eta\sum_{i=1}^{n}(f_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})\\ \theta_1 &:= \theta_1 - \eta\sum_{i=1}^{n}(f_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})x^{(i)}\\ \theta_2 &:= \theta_2 - \eta\sum_{i=1}^{n}(f_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})x^{(i)^2} \end{split}