概率论基础 - 2 - 期望

本文介绍期望。

期望

定义

数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。 ——百度百科

• 期望描述了随机变量的平均情况，衡量了随机变量 的均值。它是概率分布的泛函（函数的函数）。

计算方法

离散型

• 离散随机变量X的期望：

• 若右侧级数不收敛，则期望不存在。

连续型

• 连续随机变量X的期望：

• 若右侧级数不收敛，则期望不存在。

定理

• 定理：对于随机变量X, 设 Y=g(X) 也为随机变量,g(⋅) 是连续函数。

离散型

• 若X为离散随机变量，若Y的期望存在，则：

• 也记作：

连续型

• 若X为连续随机变量，若Y的期望存在，则：

• 也记作：

用法

• 该定理的意义在于：当求E[Y] 时，不必计算出Y的分布，只需要利用X的分布即可。
• 该定理可以推广至两个或两个以上随机变量的情况。

性质

• 常数的期望就是常数本身
• 对常数C有 ：

• 对两个随机变量 X,Y，有：

该结论可以推广到任意有限个随机变量之和的情况

• 对两个相互独立的随机变量，有：

该结论可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况

参考资料

• http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html