根据两经纬度点计算距离公式推导

问题

已知地球上的点E经纬度为(J1, W1)，点F经纬度为(J2, W2)，求两点间最短的球面距离。

推导

步骤1

假设地球是一个标准的球体，设球心为O, 地球半径为r。

earth_2_point_distance1.png

线段OE, OF, EF构成一个等腰三角形，OE=OF=r，定义∠EOF弧度为δ，定义E,F两点的最短球面距离为L

则有：

根据余弦定理有：

将OE=OF=r代入得：

最后可得：

步骤2

下面来求EF。

earth_2_point_distance.png

图中，B点为北极点，C点和D点位于赤道上，OB，OC，OD构造空间直角坐标系，OCD即赤道面。过E点做垂线垂直于面OCD交于E1点，过F点做垂线垂直于面OCD交于F1点，过F点做垂线垂直于线EE1于F2点。

定义\angle EOE_1弧度为α，\angle FOF_1弧度为β，\angle E_1OF_1弧度为γ，其实α即为E点的纬度弧度，β即为F点的纬度弧度，γ即为F点和E点的经度差的弧度。

勾股定理有：

又有：

则有：

\angle OE_1E、\angle OF_1F为直角，则有：

根据余弦定理有：

又有：

则有：

将公式 （3），（4），（5）代入 （2），并整理得：

代入公式（1）得：